GCN

每个节点有自己的特征，假如$N$个节点，每个节点特征维度为$D$，特征矩阵（$X$）的形状就是$N\times D$。同时有一个邻接矩阵$A$，形状是$N\times N$。

层之间的传播方式是：$H^{(l+1)}=\sigma\left(\tilde{D}^{-\frac{1}{2}} \tilde{A} \tilde{D}^{-\frac{1}{2}} H^{(l)} W^{(l)}\right)$

GCN里面的$\tilde{A}$的处理是为了能够处理节点自己本身的特征，$A$里面本身对角线是0就导致用$A$无法捕获节点本身的特征。

CNN无法处理Non Euclidean Structure的数据，无法在图上用一个相同尺寸的卷积核进行卷积；但是又想要提取空间特征进行机器学习。

提取空间特征可能用：

Vertex domain(spatial空间的 domain)：找neighbors，neighbors的attributes就是channels
Spectral domain（谱的）借助于图的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量来研究图的性质
- 可能是$L=D-A$，$L^{sys}=D^{-\frac{1}{2}}LD^{-\frac{1}{2}}$，$L^{rw}=D^{-1}L$
- 拉普拉斯矩阵是对称矩阵，可以进行特征分解（谱分解）；拉普拉斯矩阵只在中心顶点和一阶相连的顶点上（1-hop neighbor）有非0元素，其余之处均为0；与拉普拉斯算子可以进行类比（https://zhuanlan.zhihu.com/p/85287578 ）
  - 拉普拉斯算子可以从传播的角度考虑。节点$i$受到的影响其实是所有邻居与它的差的综合，所以是$\Delta f_{i}=\sum_{j \in N_{i}} W_{i j}\left(f_{i}-f_{j}\right)$，进而写成$d_if_i-w_i\cdot f$。拉普拉斯矩阵中的第$i$行实际上反应了第$i$个节点在对其他所有节点产生扰动时所产生的增益累积

如何理解 Graph Convolutional Network（GCN）？ - superbrother的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/54504471/answer/332657604

离散卷积本质上就是加权求和。

Spectral graph theory：借助于图的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量来研究图的性质

常用的拉普拉斯矩阵实际有三种

(1)拉普拉斯矩阵是对称矩阵，可以进行特征分解（谱分解），这就和GCN的spectral domain对应上了

(2)拉普拉斯矩阵只在中心顶点和一阶相连的顶点上（1-hop neighbor）有非0元素，其余之处均为0

(3)通过拉普拉斯算子与拉普拉斯矩阵进行类比（详见第6节）